De werking van de eindige elementen methode is op zich al ingewikkeld uit te leggen, zonder daarbij al te technisch en wiskundig te worden. Laat staan als deze methode wordt toegepast als sterkteberekening. In diverse leerboeken wordt deze werking verklaard maar ook in Wikipedia zien we bijvoorbeeld de volgende uitleg, die voor de meeste mensen abracadabra is:
Het is wiskundig aan te tonen dat bij het verkleinen van de elementen de oplossing die met de eindige elementen methode wordt bereikt, nadert tot de analytisch juiste oplossing (convergentie). In de eindige elementen methode deelt degene die de berekeningen doet een constructie op in een (eindig) aantal elementen en koppelt deze elementen aan elkaar door middel van knooppunten (nodes). Aan deze koppelingen wordt, afhankelijk van het soort element, een aantal eisen (randvoorwaarden) gesteld. In elk geval moeten de nodes van
de elementen tegelijk met elkaar verplaatsen, want anders zou er een gat in de constructie ontstaan. Het bepalen van de knooppunten en koppelingen komt overeen met het bepalen van een rooster. Door deze methodiek is het mogelijk het gedrag van een complexe constructie te benaderen middels een matrixvergelijking. In het geval van een lineair statische berekening houdt de matrixvergelijking de volgende in: [K]{u} = {F} Waarbij [K] de stijfheidsmatrix voor het gehele systeem, {u} de verplaatsingen van de knooppunten in de afzonderlijke richtingen en {F} de belastingen (krachten / momenten) op de knooppunten in alle richtingen. Doel is bepaling van de verplaatsingsvector {u} om daaruit de spanningen en rekken te kunnen bepalen en daarmee de sterkte van de constructie bij belasting {F}.
Voor wie het fijne ervan wil weten, zijn er bijvoorbeeld deze uitgaven, deel 1 en 2 van G.E. Hofman.
Beperkt vergelijkbare uitleg
Voor wie in grote lijnen wil weten hoe een sterkteberekening volgens de eindige elementen methode werkt, hebben we geprobeerd zo eenvoudig en zo goed mogelijk een beperkt vergelijkende uitleg te maken. Deze LARA-uitleg zal hier en daar dus niet exact overeenkomen met de wetenschappelijke versie, maar we willen het hier graag begrijpelijk houden voor iedereen die in grote lijnen wil weten hoe een computer sterkteberekening nou eigenlijk werkt. Overigens wordt deze Eindige Elementen Methode, kortweg EEM, ook wel aangeduid met Finite Element Method FEM of Finite Element Analysis FEA
2D spinnenweb
Iedereen heeft wel eens een spinnenweb van dichtbij bekeken en aangeraakt. Er vallen dan een aantal dingen op.
– Het spinnenweb bestaat uit draden
– de draden zijn met elkaar verbonden (knooppunten)
– de draden zijn tussen de knooppunten recht (staafjes)
– de staafjes zijn elastisch
– daardoor kunnen de knooppunten verplaatsen
– er wordt enige weerstand gevoeld als je aan het web trekt
– de gehele webstructuur vervormt als je één knooppunt verplaatst
Kortom, trek je aan het web dan zet je er in feite – hoe gering dan ook – een kracht op. Als gevolg van die kracht vervormt het gehele web. Dit is in wezen de basis van een eindige elementen methode sterkteberekening.
3D spinnenweb
Dit alles is gezien vanuit een plat vlak. Immers, de spinnenwebben die wij kennen zijn doorgaans 2 Dimensionaal, dus plat. Maar stelt u zich een 3 dimensionaal spinnenweb voor. Die bestaan overigens. Ook als één klein puntje van zo’n 3D web zou verplaatsen, dan is dat ten gevolge van de kracht die daar dan op wordt gezet. Wat dan als gevolg heeft dat het totale 3D web zal vervormen. De kracht die daarbij wordt uitgeoefend plant zich via de knooppunten en de staafjes voort door het gehele web. Ieder knooppuntje zal, hoe gering ook aan de uiterste overzijde, verplaatsen. Die verplaatsing wordt beperkt door de elasticiteit van ieder staafje op zich. Elk staafje trekt namelijk, afhankelijk van de elasticiteit (mate van stijfheid c.q. slapheid) met een zekere kracht terug en wil het knooppunt eigenlijk daar houden waar het is in onbelaste toestand.
Wet van Hook
Er is een verband tussen de kracht en de rek in het staafje. Denk aan een elastiek, hoe harder je er aan trekt, des te langer wordt het elastiek. In de sterkteleer is dit geformuleerd als de wet van Hook waarbij dan geldt dat de kracht en de verlenging lineair oplopen. De mate van elasticiteit is een eigenschap van het materiaal. Omgekeerd kunnen we dus zeggen, hoe langer het elastiek, des te groter is de kracht in het elastiek. Die kracht gedeeld door het aantal vierkante millimeters van de elastiek-doorsnede, noemen we de spanning. Spanning = kracht / oppervlakte ofwel = F/a. Dus als we weten wat de verplaatsing van ieder knooppunt is, dan weten we ook wat de verlenging is van ieder staafje in een spinnenweb. En bij elke verlenging behoort dus een spanning.
Eindige elementen
Bij sterkteberekeningen deel je een onderdeel – bijvoorbeeld een dek-oog – op in een vooraf bepaald (eindig) aantal elementen. We noemen dat de Mesh. Een mesh bestaat dus uit elementen en een element bestaat weer uit staafjes en knooppunten. Net zoals bij een 3D spinnenweb. Elk materiaal is elastisch, het ene meer dan het andere. Net als bij spinnendraad, alleen is spinnendraad natuurlijk zeer elastisch. Staal bijvoorbeeld is 3x zo stijf als aluminium. Maar hoe stijf dan ook, het is elastisch en zal dus verlengen bij een bepaalde kracht. De verlenging is natuurlijk zeer gering bij reed grote kracht. We noemen het materiaal dan ook stijf. Spinnendraad daarentegen noemen we, ondanks de grote breuksterkte, toch slap omdat het veel rekt.
Een eindige elementen methode sterkteberekening programma is in staat om al die verlengingen en verplaatsingen met elkaar in verband en in kaart te brengen. Dat gaat gepaard met een enorme hoeveelheid vergelijkingen, zogeheten matrixen. De computer rekent voor al die verlengingen de bijbehorende spanningen uit. Deze spanningen en verlengingen komen dan in beeld in kleur en in verschaalde vervorming. Middels legenda’s kan dan de spanning in MPa (megapascal) ofwel N/mm2 en de vervorming in millimeters worden afgelezen. Tevens kan je de vervorming dan zien volgens een bepaalde verschaling (overdreven weergage). Verder zijn er nog diverse andere waarden te lezen zoals hoofdspanningen, afschuifspanningen, contactspanningen, veiligheidsgraden etc.
Resumerend
-de uitwendige kracht op een bepaalde plek van een object plant zich voort door het totale object
-de elasticiteit van het objectmateriaal bepaalt hoeveel elk staafje rekt
-daarmee is de verplaatsing van ieder knooppunt bekend
-bij elke mate van verplaatsing behoort een inwendige tegenkracht (het tegengaan van verplaatsen)
-na de computerberekening hiervan is de spanning en vervorming in elk element bekend
-dit wordt dan visueel in beeld gebracht middels kleur en verschaalde afwijking van de geometrie
Randvoorwaarden
Uiteraard zijn er nog veel meer randvoorwaarden vereist bij een sterkteberekening. Zo moet een spinnenweb vastzitten aan de buitenwereld, bijvoorbeeld een plant of boomtak. Anders zou het de lucht in vliegen als er een insect tegenaan botst. Zo moet ons elementenmodel ook vast zitten aan de buitenwereld, bijvoorbeeld een vloer of een muur of een aangrenzende constructie. We noemen dat fixaties. Aan deze fixaties kunnen we dan nog voorwaarden stellen, bijvoorbeeld, volledig vast, verend enz. enz. Bij de belasting van een model geeft zo’n fixatie natuurlijk een reactiekracht. Ook die kan in beeld worden gebracht. We weten dan bijvoorbeeld met hoeveel kracht de vloer terug duwt of terugbuigt als we een kracht zetten op iets wat daar op die vloer afsteunt. Verder moeten we bij een sterkteberekening natuurlijk de uitwendige krachten, momenten(koppels) en het eigengewicht inbrengen, zoals bijvoorbeeld, hijslast, winddruk, sneeuwlast, atmosferische of hydrostatische druk etc. Bij een object bestaande uit meerdere onderdelen, moeten tevens de contacten tussen deze onderdelen worden gedefinieerd. Daaraan kunnen ook weer voorwaarden worden gegeven, zoals vast, los, verend, schuivend, draaiend enz. enz.
Soorten spanningen
We hebben het hier steeds gehad over trekkrachten en trekspanningen. Maar dit verhaal gaat ook op voor drukspanningen. In werkelijkheid hebben we bijna nooit te maken met alleen deze zogeheten zuivere hoofdspanningen. In de praktijk is het bijna altijd een combinatie van diverse soorten spanningen. Zo zijn er trek, druk en schuifspanningen. Deze kunnen worden veroorzaakt door combinaties van bijvoorbeeld, trek-, druk-, buig-, torsie en schuifkrachten. Onder de streep van al deze spanningen bij elkaar genomen krijgen we dan een zo geheten equivalente spanning. Bijvoorbeeld de Von Mises stress. Deze kan hoger en zelfs ook lager zijn dan één van de hoofdspanningen, maar meestal is de equivalent toch wel hoger, wat dan ook de reden is dat de equivalente spanning maatgevend is. De zuivere hoofdspanningen worden meestal afzonderlijk bekeken voor een beter begrip van de specifieke spanningstoestanden. Een aparte spanning is nog de knikspanning. De grensspanning daarvan ligt vaak nog weer lager omdat een profiel bijvoorbeeld al eerder uitknikt voordat deze elastisch in elkaar wordt gedrukt. De spanningsleer is weer een hoofdstuk apart binnen de sterkteleer.
Speciale rekencomputer
Om een nauwkeurige sterkteberekening te kunnen maken, moeten de elementen voldoende klein gekozen worden. Het aantal elementen kan zo in de vele duizenden belopen. Daardoor worden de rekenmodellen over het algemeen erg groot en moeten er enorme matrixen worden opgebouwd en doorgerekend. Dit kan resulteren in lange computerrekentijd van soms uren achtereen met uitzonderingen van dagen achtereen. Het is evident dat hiervoor speciale computers nodig zijn die beschikken over enorme rekenkracht.
Kennis van en routine in sterkteberekeningen
De computer en het rekenprogramma doen hun werk wel. Waar het op aankomt is: wat stop je er in en hoe lees je wat er weer uitkomt. Ook is het zo dat het ene programma meer instelknoppen heeft dan het andere.
Ga naar het volgende onderwerp
Introductie FEM
Werking van FEM sterkteberekening (hier bent u nu)
Nodig voor sterkteberekening
Sterkteberekening en de valkuilen
Statica-berekening
Dynamica-berekening
Onze sterkteberekening tools
